Il contenuto di questo secondo riguarda soprattutto l'opera di Descartes, Fermat, Newton e Leibniz, per concludersicon la grande figura di Eulero.
Quando Fermat e Descartes si affacciano sulla scena della matematica nei decenni centrali del Seicento, trovano già disponibile un linguaggio algebrico sufficientemente potente. Il loro contributo non consiste nell'inventare nuovi simboli, ma nell'applicare quel linguaggio a domini che esso non aveva ancora colonizzato - in primo luogo la geometria.
Pierre de Fermat e René Descartes giungono, in modo indipendente e quasi simultaneo, alla stessa idea fondamentale: stabilire una corrispondenza biunivoca tra equazioni algebriche e curve geometriche. La Géométrie di Descartes - appendice al Discours de la méthode - presenta al pubblico colto europeo la geometria analitica nella sua forma più sistematica. Fermat, più appartato e refrattario alla pubblicazione, sviluppa idee parallele nella sua Introduction aux lieux plans et solides, circolata manoscritta. Ma il suo contributo più originale è un altro: lo studio dei massimi e minimi mediante il metodo della descente infinie. Fermat osserva che in prossimità di un massimo o minimo una funzione varia in modo impercettibile al primo ordine, e costruisce una procedura algebrica per sfruttare questa osservazione. Fermat applica lo stesso principio al calcolo delle tangenti alle curve, trovando risultati che Newton, in seguito, riconoscerà come decisivi.
Isaac Newton riceve l'algebra come uno strumento e la restituisce diversa. Legge Viète, Descartes e Wallis, e si appropria rapidamente dei loro metodi. Ma la sua mente tende verso l'infinito: comprende che le tecniche algebriche possono essere estese alle serie infinite, trattandole come polinomi di grado infinito soggetti alle stesse operazioni. Il binomio di Newton è uno dei frutti di questa generalizzazione.
Gottfried Wilhelm Leibniz giunge al calcolo infinitesimale per una strada diversa, e la differenza non è solo cronologica. Mentre Newton pensa in termini fisici e geometrici, Leibniz è mosso da un'ambizione filosofica: costruire una characteristica universalis, un linguaggio simbolico in cui ogni ragionamento possa essere meccanicamente verificato. Il contributo algebrico di Leibniz si estende alla riflessione sul significato delle operazioni stesse. Intuisce - in anticipo di un secolo e mezzo - che possono esistere algebre con strutture diverse da quella ordinaria, e medita a lungo sulle possibilità di un calcolo geometrico generalizzato. Non porta queste intuizioni a compimento, ma il programma di una scienza del ragionamento formale che egli insegue per tutta la vita troverà i suoi eredi in Boole e poi in Frege.
Rimangono aperte le grandi questioni: la natura dei numeri negativi e immaginari (usati, ma non giustificati), il significato degli infinitesimi (efficaci, ma concettualmente oscuri), la teoria delle equazioni di grado superiore. Il grande snodo del XVIII secolo è rappresentato dall'opera di Leonhard Euler. La sua Introductio in analysin infinitorum e i successivi trattati sistematizzano la nozione di funzione come concetto centrale, ridisegnando i confini tra algebra e analisi. Parallelamente, il problema della risoluzione delle equazioni algebriche per via di radicali rimane la grande questione irrisolta. Il caso delle equazioni di terzo e quarto grado era stato risolto dagli italiani nel Cinquecento, ma le equazioni di quinto grado resistono ostinatamente.
